Aujourd’hui nous allons voir comment résoudre un système d’équations linéaires avec Excel.
Un système d’équations linéaires est une série d’équations de la forme suivante:
3 x + 4 y = 34
-2 x + 5 y = 52
C’est ici un système de deux équations à deux inconnues. Il faut alors trouver x et y qui vérifient simultanément les 2 équations. Il est également possible d’écrire ce système sous forme matricielle: A*X=B avec
A=
| 3 | 4 |
| 2 | 1 |
et B=
| 34 |
| 52 |
Pour résoudre ce système il suffit de trouver le vecteur X= A-1*B (si la matrice A est inversible et A-1 son inverse)
Pour résoudre ce problème sur Excel, nous allons d’abord calculer la matrice A-1 avec la fonction INVERSEMAT:
{=INVERSEMAT(C3:D4)}
Attention, il s’agit là d’une formule matricielle (au sens Excel), qui renvoient non pas une seule valeurs mais un tableau (une matrice) de valeurs. Pour que ce type de fonction s’exécute correctement, il faut sélectionner toute la plage de résultat (ici C8:D9) et valider la formule en appuyant en même temps sur Ctrl + MAJ + Entrée (sous Windows). La formule apparait alors entre accolades { }.
On peut ensuite calculer le produit X= A-1*B avec la fonction PRODUITMAT:
{=PRODUITMAT(C8:D9;G3:G4)}
Là encore il s’agit d’une formule matricielle. On obtient alors la solution avec le vecteur X, ce qui signifie que x=-15,8 et y=20,4 est une solution.
On peut vérifier cette solution en calculant A*X et voir que l’on retrouve bien le vecteur B.
On peut bien sur appliquer cette formule à des systèmes plus complexes, par exemple le système de 4 équations à 4 inconnues ci dessous est résolu avec la formule
{=PRODUITMAT(INVERSEMAT(C20:F23);H20:H23)}
De manière générale, un système d’équations sera résolu par la formule {=PRODUITMAT(INVERSEMAT(Système); Vecteur cible)} à condition bien sur que cette solution existe.
